Question

1．如图1所示，已知y=$\frac{6}{x}$（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为4$\sqrt{3}$，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=6，b=2，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；
（2）连接BN，CN，首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S_{四边形BQNC}=4$\sqrt{3}$，求出OA=3，于是P点坐标求出；
（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．

解答 解：（1）如图1，连接OP．
S_△PAB=S_△PAO=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$×6=3；

（2）如图2，连接BN，CN，
∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=$\frac{1}{2}$AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
$\left\{\begin{array}{l}BQ=NQ\\∠BQA=∠NQA\\ QA=QA\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△ANQ（SAS），
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_菱形BQNC=4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×CQ×BN，
令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2$\sqrt{3}$t，
∴t=1
∴BQ=2，
∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BQ=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAO=30°
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3，
又∵P点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴P点坐标为（3，2）；

（3）∵a=6，b=2，
∴OB=2，OA=6，
∴AB=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，
易得△AOB∽△DBA，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{AB}{BD}$，
∴BD=6$\sqrt{10}$．
①如图3，当点Q在线段BD上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$AQ，
∵四边形BQNC是平行四边形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴$\frac{CN}{QD}$=$\frac{AC}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴BQ=CN=$\frac{1}{3}$BD=2$\sqrt{10}$，
∴AQ=$\sqrt{{AB}^{2}+{BQ}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴C_{四边形BQNC}=4$\sqrt{10}$+4$\sqrt{5}$；
②如图4，当点Q在射线BD的延长线上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=CQ=$\frac{1}{2}$AQ，
∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴△BND∽△QAD
∴$\frac{BD}{QD}$=$\frac{BN}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴BQ=3BD=18$\sqrt{10}$，
∴AQ=$\sqrt{{BQ}^{2}+{AB}^{2}}$=$\sqrt{{（18\sqrt{10}）}^{2}+{（2\sqrt{10}）}^{2}}$=4$\sqrt{205}$，
∴C_{四边形BNQC}=2AQ=4$\sqrt{205}$．
综上所述，这个平行四边形的周长为4$\sqrt{10}$+4$\sqrt{5}$或4$\sqrt{205}$．

点评 本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．