Question

17．如图①，已知点A（0，m），B（n，0），点P为△ABO的角平分线的交点．
（1）若m，n满足|m+n|+（m+2）²=0，求A，B的坐标；
（2）连OP，在（1）的条件下，求证：OP+OB=AB；
（3）如图，PN⊥AB于N，作PM⊥PA交x轴于M，试探究：AO-MO与PN之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质列方程，求出m、n的值，即可得出答案；
（2）连接AP，在x轴正半轴截取OM=OP，连接PM，求出∠OMP=∠OPM=$\frac{1}{2}$∠POB，∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=22.5°，根据AAS证得△ABP≌△MBP，根据全等三角形的性质即可得到AB=BM；
（3）作 PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，求出PF=PE，∠APF=∠MPE，根据ASA证△APF≌△MPE，推出AF=EM即可．

解答 解：（1）∵m，n满足|m+n|+（m+2）²=0，
∴m+n=0，m+2=0，
∴m=-2，n=2，
∴A的坐标是（0，-2），B的坐标是（2，0）；

（2）如图1，连接AP，在x轴负半轴截取OM=OP，连接PM，
则∠OMP=∠OPM=$\frac{1}{2}$∠POB，
∵P为△AOB角平分线交点，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°，
∴∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
在△ABP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BMP}\\{∠ABP=∠MBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MBP（AAS），
∴AB=BM=OB+OP；

（3）AO-OM=2PN，
理由是：如图2，作 PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于 F，
则∠AFP=∠MEP=90°，
∵P是△AOB角平分线交点，
∴PF=PE，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°，
∴∠FPE=90°，
∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°=∠FPE，
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM，
即∠APF=∠MPE，
在△APF和△MPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APF=∠MPE}\\{PF=PE}\\{∠PFA=∠PEM}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△MPE，
∴AF=EM，
∴AO-OM=（AF+OF）-（EM-OE）=20E=2PN，
即AO-OM=2PN．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，非负数的性质，求点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．