Question

7．已知菱形ABCD的两条对角线分别为5和12，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=6.5．

Answer 1

分析 作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答 解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP、AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上．
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ．
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点．
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN．
∴四边形BQNC是平行四边形．
∴NQ=BC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，BP=$\frac{1}{2}$BD=6．
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{P}^{2}+P{C}^{2}}$=6.5，即NQ=6.5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=6.5．
故答案为：6.5．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．