Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+mx+n．
（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，请用含m的代数式表示n；
（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，0），AB=4，请求出该二次函数的表达式及顶点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴△=m2+4n=0，

∴n=﹣ m2

（2）解：∵A（﹣1，0），AB=4，

∴B（3，0）或（﹣5，0）．

将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+mx+n得 ，解得 ，

∴二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点为（1，4），

将A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=﹣x2+mx+n得 ，解得 ，

∴二次函数为y=﹣x2﹣6x﹣5，顶点为（﹣3，4）

【解析】（1）由二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△=0，由此即可解决问题．（2）求出点B坐标有两种情形，分别利用方程组解决问题即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．