Question

【题目】M为双曲线y= 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D，C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．

（1）求ADBC的值．
（2）若直线y=﹣x+m平移后与双曲线y= 交于P、Q两点，且PQ=3 ，求平移后m的值．
（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，

当x=0时，y=m，

∴A（0，m）；

当y=0时，x=m，

∴B（m，0）．

∴△ABO为等腰直角三角形

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形

设M（a，b），则ab= ，CE=b，DF=a

∴AD= DF= a，BC= CE= b

∴ADBC= a b=2ab=2

（2）

解：将y=﹣x+m代入双曲线y= 中，整理得：x2﹣mx+ =0，

设x1、x2是方程x2﹣mx+ =0的两个根（x1＜x2），

∴x1+x2=m，x1x2= ．

∵PQ=3 ，直线的解析式为y=﹣x+m，

∴x2﹣x1=3= = ，

解得：m=±

（3）

解：由上述结论知x1=y2，x2=y1，且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①，

∵x1x2= ②，

∴P，Q两点的坐标可表示为P（x1，x2），Q（x2，x1），

∴PQ= （x2﹣x1），

∵（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=m2﹣4 ，

∴PQ= ，

∵S△MPQ= PQh，∵PQ为定值，

∴PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，

当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，

∴不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．

【解析】（1）过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，求得A（0，m）；B（m，0）．求得△ABO为等腰直角三角形推出△ADF和△BCE也是等腰直角三角形设M（a，b），则ab= ，CE=b，DF=a解直角三角形即可得到结论；（2）根据题意得 ，整理得：x2﹣mx+ =0，根据根与系数的关系得到：m2﹣4 =9，解得：m=± ；（3）由上述结论知x1=y2 ， x2=y1 ， 且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①，
由于x1x2= ②，得到P，Q两点的坐标，得到PQ= ，根据S△MPQ= PQh，得到PQ为定值，于是得到PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，于是得到不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的图象和反比例函数的性质，需要了解反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能得出正确答案．