Question

10．如图所示，矩形ABCD中，AB=1，BC=x，P，Q分别是BC，CD，DA上的点，且∠BAP=45°，CP=CQ，RQ∥AP．RS⊥AP于点S．
（1）试说明四边形PQRS是矩形．
（2）设矩形PQRS的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）当四边形PQRS是正方形时，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，可得∠QPC的度数，根据角的和差，可得∠SPQ的度数，根据平行线的判定，可得PQ与SR的关系，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得函数关系式；
（3）根据正方形的对角线垂直、相等且互相平分，可得PC与QC与QD的关系．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD中，∠B=∠C=90°．
∵∠BAP=45°，
∴∠BPA=45°．
∵CP=CQ，
∴∠QPC=45°，
∴∠QPS=180°-45°-45°=90°，
∵RS⊥AP于点S，
∴∠RSA=90°=∠QPS，
∴SR∥PQ，
又∵PQ∥AP，
∴四边形PQRS是矩形；
（2）由面积的和差，得
y=x-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$（2-x）²-$\frac{1}{2}$（2x-2）²，
化简，得y=-$\frac{3}{2}$x²+8x-$\frac{9}{2}$；
（3）由四边形PQRS是正方形，得
PR=SQ，PR⊥SQ，$\frac{1}{2}$PR=$\frac{1}{2}$SQ．
即PC=CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质，（1）利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，（2）利用了面积的分割，即矩形的面积减去4个三角形的面积等于小矩形的面积；（3）利用了正方形的性质：正方形的对角线垂直、相等且互相平分．