Question

已知如图，动点P在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上运动，点A点B分别在X轴，Y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥X轴于M，交AB于点E，PN⊥Y轴于点N，交AB于F；

(1)当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及ΔEOF的面积；

(2)动点P在函数y＝－(x＜0)的图象上移动，它的坐标设为P(a，b)(－2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|)，其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由条件知A(－2，0)，B(0，2)易求得直线AB的解析式为：y＝x＋2 　　又∵点P在函数y＝－上，且纵坐标为，∴P(－，) 　　把x＝－代入y＝x＋2中得y＝，∴E(－，) 　　把y＝代入y＝x＋2中得x＝－∴F(－，) 　　SΔE0F＝SΔAOF–SΔAOE＝××－××＝ 　　(2)以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形；理由如下： 　　由条件知ΔAOB是等腰直角三角形，则ΔAME，ΔEPF，ΔFNB均为等腰直角三角形，又－2﹤a﹤0，0﹤b﹤2 　　AM＝2－(－a)＝2＋a∴AE2＝(AM)2＝2a2＋8a＋8 　　BN＝2－b∴BF2＝(BN)2＝2b2－8b＋8 　　PE＝PM－EN＝PM－AM＝b－(2＋a)＝b－a－2而ab＝－2 　　∴EF2＝(PE)2＝2a2＋2b2＋8a－8b＋16 　　又|a|≠|b|∴AE≠BF 　　而(2a2＋8a＋8)＋(2b2－8b＋8)＝2a2＋2b2＋8a－8b＋16 　　∴AE2＋BF2＝EF2 　　故以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形；