Question

已知如图，动点P在反比例函数y=-（x＜0）的图象上运动，点A点B分别在X轴，Y轴上，且OA=OB=2，PM⊥X轴于M，交AB于点E，PN⊥Y轴于点N，交AB于F；
（1）当点P的纵坐标为时，连OE，OF，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）动点P在函数 y=-（x＜0）的图象上移动，它的坐标设为P（a，b） （-2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由条件知A（-2，0），B（0，2），易求得直线AB的解析式为：y=x+2
又∵点P在函数y=-上，且纵坐标为，
∴P（-，）
把x=-代入y=x+2中得y=，
∴E（-，）
把y=代入y=x+2中得x=-
∴F（-，）
S_△E0F=S_△AOF-S_△AOE=×|-2|×-×|-2|×=；

（2）以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．
理由如下：
由条件知△AOB是等腰直角三角形，则△AME，△EPF，△FNB均为等腰直角三角形，又-2＜a＜0，0＜b＜2
AM=2-（-a）=2+a
∴AE²=（AM）²=2a²+8a+8
BN=2-b
∴BF²=（BN）²=2b²-8b+8
PE=PM-EN=PM-AM=b-（2+a）=b-a-2 而ab=-2
∴EF²=（PE）²=2a²+2b²+8a-8b+16
又|a|≠|b|
∴AE≠BF
而（2a²+8a+8）+（2b²-8b+8）=2a²+2b²+8a-8b+16
∴AE²+BF²=EF²
故以AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．
分析：（1）分别求得点P、点E、点F的坐标，然后即可求得三角形EOF的面积；
（2）由条件知△AOB是等腰直角三角形，则△AME，△EPF，△FNB均为等腰直角三角形，然后表示出AE²、BF²、EF²=（PE）²得到AE²+BF²=EF²，利用勾股定理即可判定直角三角形．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是利用反比例函数的性质、特点求得相应的点的坐标．