【题目】定义:若某抛物线上有两点A、B关于原点对称,则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数y=ax2﹣2mx+c(a,m,c均为常数且ac≠0)是“完美抛物线”:
(1)试判断ac的符号;
(2)若c=﹣1,该二次函数图象与y轴交于点C,且S△ABC=1.
①求a的值;
②当该二次函数图象与端点为M(﹣1,1)、N(3,4)的线段有且只有一个交点时,求m的取值范围.
【答案】
(1)
解:设A (p,q).则B (﹣p,﹣q),
把A、B坐标代入解析式可得: ,
∴2ap2+2c=0.即 ,
∴ ,
∵ac≠0,
∴ ,
∴ac<0
(2)
解:∵c=﹣1,
∴ ,a>0,且C(0,﹣1),
∴ ,
①S△ABC= ×2 ×1=1,
∴a=1;
②由①可知:抛物线解析式为y=x2﹣2mx﹣1,
∵M(﹣1,1)、N(3,4).
∴MN: (﹣1≤x≤3),
依题,只需联立 在﹣1≤x≤3内只有一个解即可,
∴x2﹣2mx﹣1= x+ ,
故问题转化为:方程x2﹣(2m+ )x﹣ =0在﹣1≤x≤3内只有一个解,
建立新的二次函数:y=x2﹣(2m+ )x﹣ ,
∵△=(2m+ )2+11>0且c=﹣ <0,
∴抛物线 与x轴有两个交点,且交y轴于负半轴.
不妨设方程 的两根分别为x1,x2.(x1<x2)
则
∵方程 在﹣1≤x≤3内只有一个解.
故分两种情况讨论:
(Ⅰ)若﹣1≤x1<3且x2>3:则 .即: ,
可得: .
(Ⅱ)若x1<﹣1且﹣1<x2≤3:则 .即: ,
可得: ,
综上所述, 或
【解析】(1)设A (p,q).则B (﹣p,﹣q),把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论;(2)由c=﹣1,得到 ,a>0,且C(0,﹣1),求得 ,①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果;②由①可知:抛物线解析式为y=x2﹣2mx﹣1,根据M(﹣1,1)、N(3,4).得到这些MN的解析式 (﹣1≤x≤3),联立方程组得到x2﹣2mx﹣1= x+ ,故问题转化为:方程x2﹣(2m+ )x﹣ =0在﹣1≤x≤3内只有一个解,建立新的二次函数:y=x2﹣(2m+ )x﹣ ,根据题意得到(Ⅰ)若﹣1≤x1<3且x2>3,(Ⅱ)若x1<﹣1且﹣1<x2≤3:列方程组即可得到结论.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
作图:过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:直线l及其外一点A.
求作:l的平行线,使它经过点A.
小天利用直尺和三角板进行如下操作:如图所示:
①用三角板的斜边与已知直线l重合;
②用直尺紧靠三角板一条直角边;
③沿着直尺平移三角板,使三角板的斜边通过已知点A;
④沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
老师说:“小天的作法正确.”
请回答:小天的作图依据是___________.
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
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【题目】如图,有两条公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
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【题目】(南阳唐河县期中)如图,在ABCD中,DE平分∠ADC交AB于G,交CB的延长线于E,BF平分∠ABC交AD的延长线于F.
(1)若AD=5,AB=8,求GB的长;
(2)求证:∠E=∠F.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.
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【题目】在“五一”期间,某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游,旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游,并为此次旅行安排8名导游,现打算同时租甲、乙两种客车,其中甲种客车每辆载客45人,乙种客车每辆载客30人.
(1)请帮助旅行社设计租车方案.
(2)若甲种客车租金为800元/辆,乙种客车租金为600元/辆,旅行社按哪种方案租车最省钱?此时租金是多少?
(3)旅行前,旅行社的一名导游由于有特殊情况,旅行社只能安排7名导游随团导游,为保证所租的每辆车安排有一名导游,租车方案调整为:同时租65座、45座和30座的大小三种客车,出发时,所租的三种客车的座位恰好坐满,请问旅行社的租车方案如何安排?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?并说明理由.
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