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【题目】定义:若某抛物线上有两点A、B关于原点对称,则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数y=ax2﹣2mx+c(a,m,c均为常数且ac≠0)是“完美抛物线”:
(1)试判断ac的符号;
(2)若c=﹣1,该二次函数图象与y轴交于点C,且SABC=1.
①求a的值;
②当该二次函数图象与端点为M(﹣1,1)、N(3,4)的线段有且只有一个交点时,求m的取值范围.

【答案】
(1)

解:设A (p,q).则B (﹣p,﹣q),

把A、B坐标代入解析式可得:

∴2ap2+2c=0.即

∵ac≠0,

∴ac<0


(2)

解:∵c=﹣1,

,a>0,且C(0,﹣1),

①SABC= ×2 ×1=1,

∴a=1;

②由①可知:抛物线解析式为y=x2﹣2mx﹣1,

∵M(﹣1,1)、N(3,4).

∴MN: (﹣1≤x≤3),

依题,只需联立 在﹣1≤x≤3内只有一个解即可,

∴x2﹣2mx﹣1= x+

故问题转化为:方程x2﹣(2m+ )x﹣ =0在﹣1≤x≤3内只有一个解,

建立新的二次函数:y=x2﹣(2m+ )x﹣

∵△=(2m+ 2+11>0且c=﹣ <0,

∴抛物线 与x轴有两个交点,且交y轴于负半轴.

不妨设方程 的两根分别为x1,x2.(x1<x2

∵方程 在﹣1≤x≤3内只有一个解.

故分两种情况讨论:

(Ⅰ)若﹣1≤x1<3且x2>3:则 .即:

可得:

(Ⅱ)若x1<﹣1且﹣1<x2≤3:则 .即:

可得:

综上所述,


【解析】(1)设A (p,q).则B (﹣p,﹣q),把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论;(2)由c=﹣1,得到 ,a>0,且C(0,﹣1),求得 ,①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果;②由①可知:抛物线解析式为y=x2﹣2mx﹣1,根据M(﹣1,1)、N(3,4).得到这些MN的解析式 (﹣1≤x≤3),联立方程组得到x2﹣2mx﹣1= x+ ,故问题转化为:方程x2﹣(2m+ )x﹣ =0在﹣1≤x≤3内只有一个解,建立新的二次函数:y=x2﹣(2m+ )x﹣ ,根据题意得到(Ⅰ)若﹣1≤x1<3且x2>3,(Ⅱ)若x1<﹣1且﹣1<x2≤3:列方程组即可得到结论.

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【题目】阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题:

作图:过直线外一点作已知直线的平行线.

已知:直线l及其外一点A

求作:l的平行线,使它经过点A

小天利用直尺和三角板进行如下操作:如图所示:

①用三角板的斜边与已知直线l重合;

②用直尺紧靠三角板一条直角边;

③沿着直尺平移三角板使三角板的斜边通过已知点A;

④沿着这条斜边画一条直线所画直线与已知直线平行.

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请回答:小天的作图依据是___________

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根据以上信息,整理分析数据如下:

平均成绩/环

中位数/环

众数/环

方差

a

7

7

1.2

7

b

8

c


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(1)请帮助旅行社设计租车方案.

(2)若甲种客车租金为800元/辆,乙种客车租金为600元/辆,旅行社按哪种方案租车最省钱?此时租金是多少?

(3)旅行前,旅行社的一名导游由于有特殊情况,旅行社只能安排7名导游随团导游,为保证所租的每辆车安排有一名导游,租车方案调整为:同时租65座、45座和30座的大小三种客车,出发时,所租的三种客车的座位恰好坐满,请问旅行社的租车方案如何安排?

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