【题目】如图1,二次函数y=a(x2﹣x﹣6)(a≠0)的图象过点C(1,﹣),与x轴交于A,B两点(点A在x轴的负半轴上),且A,C两点关于正比例函数y=kx(k≠0)的图象对称.
(1)求二次函数与正比例函数的解析式;
(2)如图2,过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D,连接AC,交正比例函数的图象于点E,连接AD,CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,连接PQ,QE,PE,设运动时间为t秒,是否存在某一刻,使PE,QE分别平分∠APQ和∠PQC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)正比例函数解析式为y=x.(2)见试题解析
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出a的值,求出AC中点E坐标,再证明OA=OC,直线OE就是所求的正比例函数.
(2)如答图1所示,关键是证明△APE∽△CEQ.根据∠DAC=∠DCA,∠AEP=∠CQE,证明△APE∽△CEQ,根据相似线段比例关系列出方程,解方程求出时间t的值.
试题解析:(1)把点C(1,﹣)代入抛物线解析式y=a(x2﹣x﹣6)得a=,
∴抛物线解析式为y=x2﹣﹣,∵OA=2,OC==2,∴OA=OC,
∵A、C中点E的坐标为(﹣,﹣),∴直线OE垂直平分AC,即A、C关于直线OE对称,
∴直线OE解析式为y=x,∴所求是正比例函数解析式为y=x.
(2)假设存在.
如答图1所示,在Rt△ACK中,由勾股定理得:AC===2,∵OB=3,∴BD=3,AB=OA+OB=5,在Rt△ABD中,由勾股定理得:AD===2,
∵点A、C关于y=x对称,∴CD=AD=2,∠DAC=∠DCA,AE=CE=AC=,
连接PQ、PE,QE,则∠APE=∠QPE,∠PQE=∠CQE,在四边形APQC中,∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°(四边形内角和等于360°),即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°,
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°,又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°(三角形内角和定理),
∴∠AEP=∠CQE,在△APE与△CEQ中,∵∠DAC=∠DCA,∠AEP=∠CQE,
∴△APE∽△CEQ,∴=,即:= ,
整理得:2t2﹣4t+3=0,
解得:t=或t=(t<,所以舍去),
∴存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC,此时t=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为2.16×10﹣3米,则这个直径是( )
A. 216000米B. 0.00216米
C. 0.000216米D. 0.0000216米
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列语句中正确的是( )
A. 0既没有倒数又没有相反数
B. 倒数等于本身的数只有±1
C. 相反数等于本身的数有无数个
D. 绝对值等于本身的数有有限个
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