Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；

(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．

(1)∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵∠PCB=∠A，

∴∠ACO=∠PCB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线；

(2)∵CP=CA，

∴∠P=∠A，

∴∠COB=2∠A=2∠P，

∵∠OCP=90°，

∴∠P=30°，

∵OC=OA=2，

∴OP=2OC=4，

∴PC==2．