Question

15．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又因为CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角△BCE中，设BE=x，则EC=2x，再利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的长．

解答 解：连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
在Rt△BCE中，设BE=x，则CE=2x，又BC=6，
根据勾股定理得：CE²=BC²+BE²，即4x²=x²+6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴CE=2x=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理，切线长定理，以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．