Question

【题目】已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l1、l2（如图①）．

（1）在图②的平面直角坐标系中，画出到直线y=x＋2的距离为1的所有点的集合的图形．并写出该图形与y轴交点的坐标．

（2）试探讨在以坐标原点O为圆心，r为半径的圆上，到直线y= x ＋ 2的距离为1的点的个数与r的关系．

（3）如图③，若以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上只有两个点到直线y= x ＋ b的距离为1，则b的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析，（0，）和（0，3）；（2）当0＜r＜1时，0个；当r=1时，1个；当1＜r＜3时，2个；当r=3时，3个；当3＜r时，4个．（3）-3＜b＜-或＜b＜3．

【解析】

试题分析：（1）易证△AOB是等腰直角三角形，两直线之间的距离是1，则过B作l1的垂线，垂线段长是1，利用勾股定理求得BD的长，即可求得D的坐标，同理求得E的坐标；

（2）求出O到直线的距离，据此即可作出判断；

（3）首选求得到原点距离是1和3时直线对应的b的值，则b的范围即可求得．

试题解析：（1）如图，

y=x+2中令x=0时y=2，则B的坐标是（0，2），

令y=0，0=x+2，解得：x=-2，则A的坐标是（-2，0）．

则OA=OB=2，即△ABC是等腰直角三角形，

过B作BC⊥l1于点C，则BC=1．

则△BCD是等腰直角三角形，BC=CD=1，

则BD=，即D的坐标是（0，3），

同理，E的坐标是（0，）．

则与y轴交点的坐标为（0，）和（0，3）；

（2）在等腰直角△AOB中，AB==．

过O作OF⊥AB于点F．则OF=AB=1．

当0＜r＜1时，0个；

当r=1时，1个；

当1＜r＜3时，2个；

当 r=3时，3个；

当3＜r时，4个．

（3）OM是第一、三象限的角平分线，

当OM=2-1=1时，则l3与y轴的交点G，G的坐标是（0，），即b=，

同理当ON=3时，b=3，

当直线在原点O下方时，b=-和b=-3．

则当-3＜b＜-或＜b＜3时，2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b的距离为1．