Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，过点A作射线AN∥BC，过点D作DE∥BA交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并说明理由．

Answer 1

考点：矩形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；
（2）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D，
∴AD平分∠BAC，∠B=∠5，
∴∠1=∠2，
∵AE是△ABC的外角平分线，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．

（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．
∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC
∴∠5=∠2=∠3=45°，
∴AD=CD，
又∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE为正方形．

点评：此题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．