Question

已知，在⊙O中，设BC所对的圆周角为∠BAC．
求证：∠BAC=

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∠BOC
证明：圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．
如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠BOC=∠A+∠ACO，
∵∠BOC=2∠A，即∠BAC=

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∠BOC
请你完成其余的证明．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A=∠D，再根据等腰三角形的两底角相等，∠D=∠OCD，然后利用三角形的外角性质∠BOC=∠D+∠OCD，整理即可得证；
（2）延长BO交⊙O于点E，连接CE，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A=∠E，再根据等腰三角形的两底角相等，∠E=∠OCE，然后利用三角形的外角性质∠BOC=∠E+∠OCE，整理即可得证．

解答： 证明：（1）如图（1），延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

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∠BOC；
（2）如图（2），延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

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∠BOC．

点评：本题考查了圆周角定理的证明，是基础题，作出辅助线找出与∠BAC相等的角，进行等量代换是解题的关键，方法与定理都需要熟练掌握并灵活运用．