Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1-m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：四边形DECF是矩形；
（3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的解析式来求点A、B的坐标即可；
（2）欲证明四边形DECF是矩形，只需证得四边形DECF是平行四边形且有一内角为直角即可；
（3）连接CD．根据矩形DECF的对角线相等得到：EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小，即EF的值最小．

解答： 解：（1）当y=0时，

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
解方程，得 x₁=-1，x₂=4．
∵点A在点B的左侧，
∴点A、B的坐标分别是（-1，0），（4，0）；

（2）证明：把C（m，1-m）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得

1

2

m²-

3

2

m-2=1-m，
解方程，得m=3或m=-2．
∵点C位于第四象限，
∴m＞0，1-m＜0，即m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴点C的坐标为（3，-2）．
过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．
由A（-1，0），B（4，0），C（3，-2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，
∴

AH

CH

=

CH

BH

=2．
又∵∠AHC=∠CHB=90°，
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH．
∵∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠ACH+∠BCH=90°，
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴平行四边形DECF是矩形；

（3）存在．理由如下：
连接CD．
∵平行四边形DECF是矩形，
∴EF=CD．
当CD⊥AB时，CD的值最小．
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．

点评：本题考查了二次函数综合题．将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．