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【题目】已知,如图抛物线y轴交于点C,与x轴交于AB两点,点A在点B左侧.B的坐标为(10),且OC4OB

(1)求点C坐标及抛物线的解析式;

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求△ACD面积的最大值;

(3)若点Ex轴上,P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,直接写出P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)yx2+3x4(2)三角形ACD面积的最大值=8(3)存在3个点符合题意,坐标分别是P1(3,﹣4)P2(4)P3(4)

【解析】

1)根据点B的坐标,可求OB的长度,进而可求OC的长度,则C的坐标可求;将B,C两点坐标代入中,用待定系数法可求抛物线解析式.

2)过点D轴分别交线段ACx轴于点M,N,利用待定系数法求出直线AC的解析式,设出点D,M的坐标,故可得出,即可得出结论.

(3)①过点C 轴交抛物线于点,过点轴于点,此时四边形为平行四边形,由的纵坐标等于点C的纵坐标,得到方程,求出x的值即可得到点P的坐标;

②平移直线ACx轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形为平行四边形,结合①可求点P的坐标.

(1)

B,C代入中,

∴抛物线的解析式为

2

过点D轴分别交线段ACx轴于点M,N

∵抛物线的解析式为

设直线AC的解析式为

A,C代入得

时,DM有最大值4,所以最大值为8

(3)①如图,过点C 轴交抛物线于点,过点轴于点,此时四边形为平行四边形

②如图,平移直线ACx轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形为平行四边形

可令,由,得

解得

此时存在点

综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是P1(3,﹣4)P2(4)P3(4)

练习册系列答案
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