【题目】已知,如图抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.B的坐标为(1,0),且OC=4OB.
(1)求点C坐标及抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求△ACD面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,直接写出P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+3x﹣4;(2)三角形ACD面积的最大值=8;(3)存在3个点符合题意,坐标分别是P1(﹣3,﹣4),P2(,4)和P3(,4).
【解析】
(1)根据点B的坐标,可求OB的长度,进而可求OC的长度,则C的坐标可求;将B,C两点坐标代入中,用待定系数法可求抛物线解析式.
(2)过点D作轴分别交线段AC和x轴于点M,N,利用待定系数法求出直线AC的解析式,设出点D,M的坐标,故可得出,即可得出结论.
(3)①过点C作 轴交抛物线于点,过点作交轴于点,此时四边形为平行四边形,由的纵坐标等于点C的纵坐标,得到方程,求出x的值即可得到点P的坐标;
②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形为平行四边形,结合①可求点P的坐标.
(1)
将B,C代入中,
得
∴抛物线的解析式为
(2)
过点D作轴分别交线段AC和x轴于点M,N
∵抛物线的解析式为
设直线AC的解析式为
将A,C代入得得
设
则
当时,DM有最大值4,所以最大值为8
(3)①如图,过点C作 轴交抛物线于点,过点作交轴于点,此时四边形为平行四边形
令
或
②如图,平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形为平行四边形
可令,由,得
解得或
此时存在点和
综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是P1(﹣3,﹣4),P2(,4)和P3(,4).
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【题目】如图,在中,于点. 点从点出发,沿线段向点运动,点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点运动到时,两点都停止. 设运动时间为秒.
(1)求线段的长;
(2)当为何值时,是直角三角形?
(3)是否存在某一时刻,使得分的面积为1:11?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】方方驾驶小汽车匀速地从A地行使到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行使时间为t(单位:小时),行使速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.
⑴求v关于t的函数表达式;
⑵方方上午8点驾驶小汽车从A出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.
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【题目】已知:如图,ABCD中,E、F分别是边AB、CD的中点.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.
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【题目】已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④a+b+c>m(am+b)+c(m≠1的实数),其中正确的结论有 ( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】如图,抛物线与轴交于A,B两点,与轴交于点C.
(1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含k的代数式表示)以及A,B两点的坐标.
(2)试探究△BCM与△ABC的面积比值是否不变,若不变,试求出这个比值;若改变,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D为AC中点,E为AB上的动点,将ED绕点D逆时针旋转90°得到FD,连CF,则线段CF的最小值为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为.
(1)画出关于轴对称的;
(2)以点为位似中心,在如图所示的网格中画出的位似图形,使与 的相似比为;
(3)点的坐标是 .
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【题目】某种贺卡原售价每张1元,甲商店这种贺卡七折优惠,而在乙商店这种贺卡除了八折优惠外,购买30张以上(含30张)免费送5张. 设一次买这种贺卡x张(x是正整数且30≤x≤50),若选择在甲商店购买需用y1元,若选择在乙商店购买需用y2元.
(1)假定你代购买45张这种贺卡,请确定应在哪一个商店买花钱较少;
(2)请分别写出y1(元)与x(张)、y2(元)与x(张)之间的函数关系式;
(3)在x的取值范围内,试讨论在哪一个商店买花钱较少.
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