Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴上，点A的坐标（-1，0），点B在y轴的正半轴上，BC=OB．
（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A₁B₁EF，点A、B的对应点分别是点A₁、B₁，设四边形A₁B₁EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）．
①当点A₁落在（1）中的抛物线上时，求S的值；
②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵点A坐标是（-1，0），
∴OA=1，
在△ABO中∠AOB=90°tanA==2，
∴OB=2．
∴点B的坐标是（0，2）．
∵BC∥AD，BC=OB，
∴BC=2，
∴点C的坐标是（2，2）．
设抛物线表达式为y=ax²+bx+2，由题意，得
∴
∴解得
∴y=-x²+x+2．

（2）①当点A₁落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A₁与点A关于对称轴对称，
由沿直线EF折叠，所以点E是BC上一个点，
重合部分面积就是梯形ABEF的面积．
∴S=S_梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2+1=3；
②当0＜x≤1时，重合部分面积就是梯形ABEF的面积，
由题得AF=x+1，BE=x，
S=S_梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2x+1．
当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形A₁NCEF的面积，
设A₁B₁交CD于点N，作MN⊥DF于点M，CK⊥AD于点K，
∴∠CKD=∠NMD=90°
由轴对称得：∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∠3+∠MND=90°
∴∠MND=∠1
△NMA₁∽△DMN，=，
∵∠BAO=∠MA₁N，tan∠BAO=2，
∴tan∠MA₁N=2=．
∴2MA₁=MN，MD=2MN．
∴MD=4MA₁，
∴DA₁=3MA₁
∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°，
∴tan∠CDK=．
在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，
tan∠CDK==，
∴DK=4，OD=6．
∵OF=x，A₁F=x+1，
∴A₁D=OD-OF-A₁F=5-2x，FD=6-x．
∴3MA₁=5-2x，
∴MA₁=（5-2x）
∵2MA₁=MN
∴MN=（5-2x）．
∴S=S_梯形DCEF-S_△A1ND=8-2x-（5-2x）²=-x²+x-．
分析：（1）根据条件先求出B点和C点的坐标，再利用待定系数法就可以求出过点A、B、C的抛物线的解析式．
（2）①根据抛物线的对称性可以知道当点A₁落在抛物线上A₁与点A关于对称轴对称，重合部分面积就是梯形ABEF的面积．从而求出S的值．
②从0＜x≤1和当1＜x≤2两种情况分别把点E在运动的过程中重叠部分的面积表示出来，当0＜x≤1时重叠部分的面积就是梯形ABEF的面积，当1＜x≤2时，重叠部分的面积就是一个五边形的面积．就是一个梯形的面积减去一个三角形
的面积就可以了．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，梯形的面积公式，动点问题在函数解析式中的运用．相似三角形的判定及性质的运用．