Question

1．已知，如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，E为AB的中点，连接DE，EC，求证：DE⊥EC．

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质和已知条件易证DE，CE分别是∠ADC和∠DCB的角平分线，由角平分线的性质可得∠EDC+∠ECD=90°，则∠DEC=90°，即DE⊥EC．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠AED=∠CDE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵AB=2AD，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠CDE，
同理可证：∠DCE=∠BCE，
∴∠EDC+∠ECD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键利用平行四边形的性质得到DE，CE分别是∠ADC和∠DCB的角平分线．