Question

【题目】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十三五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）．

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）、（2）该方案是否具有实施价值？

Answer 1

【答案】（1）205万元；（2）3175万元；（3）有

【解析】

（1）由获得利润与投入的函数关系式：，可得每年获得利润的最大值，从而可得答案；

（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；

（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．

解：（1）当x＝60时，P的最大值为41万元，

∴5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）；

（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，

∴x＝50时，P最大为：（万元），

后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100﹣a，

∴

，

∴当a＝30时，y最大为1065，

∴这三年的获利最大为1065×3＝3195（万元），

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2＝3175（万元）．

（3）有很大的实施价值．

规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．