Question

16．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB所在直线上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系QE=QF；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

解答 解：（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQF}\\{∠AEQ=∠BFQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；
（2）QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，如图2：

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．