Question

【题目】如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得的长度是，的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是（　　）

A. 3 B. 2 C. 9 D. 10

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2，再利用垂径定理得到OP⊥AB，则∠OPB=90°，于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上，直线QO′交⊙O′于E、F，如图，根据切线的性质得到OB⊥PQ，则利用勾股定理可计算出O′Q=，利用点与圆的位置关系得到m=+1，n=-1，然后计算mn即可．

连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，

设⊙O的半径为r，

根据题意得π，解得r=2，

∵P点为AB的中点，

∴OP⊥AB，

∴∠OPB=90°，

∴点P在以OB为直径的圆上，

直线QO′交⊙O′于E、F，如图，

∴BQ为切线，

∴OB⊥PQ，

在Rt△O′BQ中，O′Q==，

∴QE=+1，QF=-1，

即m=+1，n=-1，

∴mn=（+1）（-1）=10-1=9．

故选C．