Question

18．平面上有n个点（n≥3），任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作多少个不同的三角形？
（1）分析：当有3个点时，可作1个三角形；
当有4个点时，可作4个三角形；
当有5个点时，可作10个三角形…
（2）归纳：点的个数n和可以作出三角形的个数S_n的关系为$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．

Answer 1

分析 顺次连接不在同一直线上的三个点可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形；依此类推当有n个点时，可作$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$个三角形．

解答 解：当n=3时，可作出的三角形的个数S₃=$\frac{3×2×1}{6}$=1；
当n=4时，可作出的三角形的个数S₄=$\frac{4×3×2}{6}$=4；
当n=5时，可作出的三角形的个数S₅=$\frac{5×4×3}{6}$=10；
当点的个数是n时，可作出的三角形的个数S_n=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．
∴Sn=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．
（1）故答案为：1，4，10；
（2）故答案为：$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．

点评 此题考查了规律总结，运用由特殊到一般的方法，进行归纳总结，解题的关键是能够得到三角形个数与n的值的通项公式，难度不大．