Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．
（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（4）若在直线上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

解：（1）作PK⊥MN于K，则．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴P′点的坐标为：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函数解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=，
∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y=（x-4）（x-8）；


（3）当0＜b≤2时，如图，S=0．

当2＜b≤3时，如图，

设AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
当3＜b＜4时，如图，

设AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
当b≥4时，如图，

S=4．

（4）．（提示：以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，．）
分析：（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性质得出KO的长，即可出P点的坐标；
（2）利用关于x轴对称的性质得出P′点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式即可；
（3）分别利用当0＜b≤2时，当2＜b≤3时以及当3＜b＜4时和当b≥4时结合图象求出即可；
（4）以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，得出即可．
点评：此题主要考查了利用交点式求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，结合图形利用自变量的取值范围进行分类讨论是解决问题的关键，注意不要漏解．