Question

20．小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
5+2$\sqrt{6}$=（2+3）+2$\sqrt{2×3}$=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=（$\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$）²；
8-2$\sqrt{15}$=（5+3）-2$\sqrt{5×3}$=（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{3}$）²-2$\sqrt{5}$×$\sqrt{3}$=（$\sqrt{5}$$-\sqrt{3}$）²．
（1）请你仿照小明的方法将7+2$\sqrt{10}$化成一个式子的平方；
（2）将下列的等式补充完整：a+b-2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²（a≥0，b≥0），并证明这个等式；
（3）若a+2$\sqrt{18}$=（$\sqrt{m}$$+\sqrt{n}$）²，且a、m、n均为正整数，则a=19或11或9．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式易得7+2$\sqrt{10}$=（$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$）²；
（2）利用完全平方公式求解；
（3）把等式右边展开即可得到m+n=a，mn=18，则利用整数的特征得到mn=1×18=2×9=3×6，于是可得m+n的值．

解答 解：（1）7+2$\sqrt{10}$=5+2+2$\sqrt{5×2}$=（$\sqrt{5}$）²+2×$\sqrt{5}$×$\sqrt{2}$+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$）²；
（2）a+b-2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²（a≥0，b≥0）．
证明如下：左边=（$\sqrt{a}$）²-2×$\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$+（$\sqrt{b}$）²=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=右边；
（3）∵（$\sqrt{m}$$+\sqrt{n}$）²=m+n+2$\sqrt{mn}$，
∴m+n=a，mn=18，
而a、m、n均为正整数，
∴mn=1×18=2×9=3×6，
∴a=19或11或9．
故答案为$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$，19或11或9．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式．