Question

1．若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形．

Answer 1

分析 设点O是△ABC的重心，连接AO，并延长AO交BC于点D，连接BO，并延长BO交CA于点E，连接CO，并延长CO交AB于点F，得到S_△OBC=S_△OCA=S_△OAB，过点O作OG⊥BC于点G，OH⊥CA于点H，OG⊥AB于点I，得到BC=CA=AB，从而证得△ABC是正三角形．

解答 证明：不妨设点O是△ABC的重心，
连接AO，并延长AO交BC于点D，
连接BO，并延长BO交CA于点E，
连接CO，并延长CO交AB于点F，
则AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的中线，
∴S_△ABD=S_△ACD，S_△OBD=S_△OCD （等底同高的三角形面积相等），
∴S_△ABD-S_△OBD=S_△ACD-S_△OCD，
即S_△AOB=S_△AOC，
同理，可得：S_△COA=S_△COB，S_△BOA=S_△BOC，
即S_△OBC=S_△OCA=S_△OAB，
过点O作OG⊥BC于点G，OH⊥CA于点H，OG⊥AB于点I，
∵点O是△ABC的内心，
∴OG=OH=OI，
∵OG，OH，OI分别是△OBC，△OCA，△OAB的高，
∴BC=CA=AB，
∴△ABC是正三角形．

点评 本题考查了三角形的无心，了解三角形的五心的性质是解答此类题目的难点和重点，本题难度较大，正确的作出辅助线是解答的关键．