Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：
（1）当直线l绕点A旋转到如图1位置时，试说明：BD=DE+CE．
（2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE=BD-CE．
（3）若直线l绕点A旋转到如图3位置时，试问：BD与DE，CE具有怎样的等量关系？请写出结果，不必证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；
（2）同（1）可证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；
（3）同理可证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．
（3）DE=CE-BD
如图3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．