Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°,其中正确的是( )

A. ①③ B. ②③

C. ①②③ D. ①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）首先由AB⊥CD，推出弧BC=弧BD，可得∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，再由OC=OA，推出∠1=∠BAC，即可推出∠1=∠2；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出∠4=∠2=∠1=∠BAC，然后根据外角的性质可推出∠3=∠1+∠BAC，通过等量代换可得∠3=2∠1，即得∠3=2∠4；
（3）根据圆内接四边形的性质可得∠5+∠BAC=180°，由∠1=∠BAC，可推出∠3=2∠BAC，通过等量代换可推出∠5+∠3=180°，总上所述，题目中的三个结论中正确的是①②．

(1)∵AB⊥CD，

∴弧BC=弧BD，

∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠1=∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴结论①正确；

(2)∵弧BC=弧BD，

∴∠4=∠2，

∵∠1=∠2=∠BAC，

∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，

∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，

∴∠3=2∠4，

∴结论②正确；

(3)∵四边形ACEB为圆的内接四边形，

∴∠5+∠BAC=180°，

∵∠BAC=∠1，∠3=2∠1，

∴∠3=2∠BAC，

∠5+∠3=180°，

∴结论③错误，

总上所述，结论①②正确，

故选D.