Question

如图，两同心圆的半径分别为6、10，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦．当矩形面积取最大值时，其周长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：先求出矩形ABCD的面积=4三角形AOD的面积，求出三角形AOD的面积最大时，∠AOD=90°，求出OM，即可求出AB，即可求出周长．

解答：解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，
过D作DE⊥OA于E，
∵矩形APND的面积是AD×OM，△AOD的面积=

1

2

AD×OM，矩形BCNP的面积是OM×BC，
∴矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍，
在Rt△DEO中，DE=OD×sin∠DOE=OD×sin∠AOD，
∵OA，OD的长是定值，S_△AOD=

1

2

×OA×OD×sin∠AOD，
∴要使矩形ABCD的面积最大，必须△AOD的面积最大，
即当∠AOD的正弦值最大时，三角形AOD的面积最大，
∵当∠AOD≤90°时，正弦值随角度的增大而增大，
即当∠AOD=90°，S_△AOD最大，
则勾股定理得：AD=

62+102

=2

34

，
根据三角形的面积公式求得OM=

15 34

17

，即AB=

30 34

17

．则矩形ABCD的周长是2（2

34

+

30 34

17

）=

128 34

17

，
故答案为：

128 34

17

．

点评：本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，勾股定理，矩形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形进而求出∠AOD的值，有一定的难度．