Question

【题目】如图24，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6

（1）D点的坐标是 ，圆的半径为 ；

（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；

（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；

（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（5，4）, 5；

（2）；

（3）证明见解析；

（4）存在点N，使面积最小，当a=4时， 最大，最大值为16,此时，N（4，-2）

【解析】（1）连接DC，则DC⊥y轴，过点D作DE⊥AB于点E，则根据垂径定理可得AE=BE=3，连接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圆的半径，也可得出点D的坐标；
（2）利用待定系数法可求出经过C、A、B三点的抛物线的解析式．
（3）因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明∠DAF=90°即可．
（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a， ），则可得点P的坐标为（a， a+4），从而根据S△BCN=S△BPN+S△PCN，表示出△BCN的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N的坐标．

解：（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，

过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD==5，
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；
（2）解：设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将三点坐标代入可得： ，解得： ，
故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y=．
（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，
抛物线顶点坐标：F（5， ），DF=4+=，AF=，
∵DA2+AF2=52+（）2==（）2=DF2，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圆D．
（4）解：存在点N，使△CBN面积最大．
根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=x+4，
设N点坐标（a， ），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，

可得P点坐标为（a， x+4），
则NP=a+4-（）=，

故S△BCN=S△BPN+S△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（a2+2a）=16-（a-4）2
当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．

“点睛”本题考查了二次函数及圆的综合，涉及了垂径定理、抛物线求二次函数解析式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，第四问解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．