Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，△AOB的面积是．

(1)求点B的坐标；

(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2∶3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意得： 　　∴B(－2，0)　　3分 　　(2)设抛物线的解析式为y＝ax(x＋2)，代入点A(1，)，得， 　　∴　　6分 　　(3)存在点C．过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E．当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小． 　　∵△BCE∽△BAF， 　　　　9分 　　(4)存在．如图，设p(x，y)，直线AB为y＝kx＋b，则 　　， 　　∴直线AB为， 　　＝|OB||YP|＋|OB||YD|＝|YP|＋|YD| 　　＝． 　　∵S△AOD＝S△AOB－S△BOD＝－×2×∣x＋∣＝－x＋． 　　∴＝＝． 　　∴x1＝－，x2＝1(舍去)． 　　∴p(－，－) 　　又∵S△BOD＝x＋， 　　∴＝＝． 　　∴x1＝－，x2＝－2． 　　P(－2，0)，不符合题意． 　　∴存在，点P坐标是(－，－)　　12分