Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF=DE，连接AF、CF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）若BC=6，AC=8，求四边形ABCF的周长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥BC，证出AC⊥DF，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE=EC．
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°．
∴AC⊥DF．                                            
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：∵四边形ADCF是菱形，
∴CD=CF=AF=AD，
在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$．
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CF=AF=5，
∴四边形ABCF的周长=10+6+5+5=26．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥BC是解决（1）的关键．