Question

8．如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交A于点G，联结BG．
（1）求证：△ADG≌△CDF；
（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质和垂直求出AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，求出∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）设正方形ABCD的边长为a，求出DE=EC=$\frac{1}{2}$a，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，证△ADE∽△CFE，求出CF=2EF，由勾股定理求出EF=$\frac{\sqrt{5}}{10}$a，CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，求出AG=CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{AG}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，证△ABG∽△EAD，推出∠BGA=∠ADE即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，DG⊥DF，
∴AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF=90°-∠GDE，
∵AF⊥CF，
∴∠EFC=∠ADE=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴由三角形内角和定理得：∠DAG=∠DCF，
在△ADG和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠ADG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△CDF；

（2）设正方形ABCD的边长为a，
∵E为CD的中点，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∵∠ADE=∠CFE，∠AED=∠FEC，
∴△ADE∽△CFE，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}a}$=2，
∴CF=2EF，
∵CE=$\frac{1}{2}$a，∠EFC=90°，
∴由勾股定理得：EF=$\frac{\sqrt{5}}{10}$a，CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∵△ADG≌△CDF，
∴AG=CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
即$\frac{AG}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
∴△ABG∽△EAD，
∴∠BGA=∠ADE，
∵∠ADE=90°，
∴∠BGA=90°，
∴BG⊥AF．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题综合性比较强，难度偏大．