Question

9．如图，已知点A（-8，n），B（3，-8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积，
（3）求方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解（请直接写出答察）；
（4）求不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0的解集（请直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据B（3，-8）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象上，求出m的值，把A（-8，n）代入反比例函数解析式，求出n的值，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据面积公式求出△AOB的面积；
（3）观察图象，求出方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解；
（4）通过观察图象，求出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0的解集．

解答 解：（1）∵B（3，-8）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象上，
∴-8=$\frac{m}{3}$，m=-24，反比例函数的解析式为y=-$\frac{24}{x}$，
把A（-8，n）代入y=-$\frac{24}{x}$，n=3，
设一次函数解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-8}\\{-8k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
一次函数解析式为y=-x-5．
（2）-x-5=0，x=-5，
点C的坐标为（-5，0），
△AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积
=$\frac{1}{2}$×5×3+$\frac{1}{2}$×5×8=$\frac{55}{2}$．
（3）点A（-8，3），B（3，-8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象的两个交点，
方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解是：x₁=-8，x₂=3，
（4）由图象可知，当x＜-8或0＜x＜3时，kx+b＞$\frac{m}{x}$，
∴不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0的解集为：x＜-8或0＜x＜3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．