Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为4$\sqrt{2}$；
（4）探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与坐标轴的交点的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根据等腰直角三角形的判定解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求出AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CAD=45°，然后求出∠ABF=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，求出∠OCD=∠HDE，然后利用“角角边”证明△OCD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=OD，OC=DH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出BE，从而判断出点E走过的路线长为BC的长度，然后求解即可；
（4）根据全等三角形对应边相等可得AD=BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD=CD，AC=AD，AC=BC三种情况讨论求解得到AD，即为FB的长．

解答 （1）解：令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
令y=0，则-$\frac{1}{4}$x²+4=0，
解得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，
∵∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC=90°，
∴∠OCD=∠HDE，
在△OCD和△HDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠HDE}\\{∠COD=∠DHE=90°}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴EH=OD，OC=DH，
∵OD+BD=OB=OC，
BH+BD=DH，
∴OD=BH=EH，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EH，
∵点D从点O沿x轴正方向移动到点B，
∴点E所走过的路线长为为BC的长度，是4$\sqrt{2}$；
故答案为：4$\sqrt{2}$．

（4）∵△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
①若AD=CD，则点O、D重合，BF=AO=4，
②若AC=AD，则BF=AD=4$\sqrt{2}$，
③若AC=BC，则BF=AD=AB=8，
综上所述，BF=4或4$\sqrt{2}$或8．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解方法，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）作辅助线构造出点E经过的路线的线段，（4）找出与BF相等的线段AD并分情况讨论．