Question

已知，如图，△ABC内接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O₁相交于点D，直线AD交⊙O₂于点F，交CB的延长线于点G．
求证：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

证明：（1）连接BD．
∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，
∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠FEB=∠ABC．
∴EF∥CG．
∴∠G=∠AFE．

（2）连接BF．
∵∠ADE=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF．
∴．
又∵EF∥CG，
∴即．
∵∠BEF=∠ABC，∠ABC=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
∴，即AB•EB=DE•AG．
分析：（1）连接BD；若∠G=∠AFE成立，则EF必定和CG平行，那么一定有∠FEB=∠ABC；而在题中∠ABC=∠C，所以必须证明∠FEB=∠C，在这里可以以∠FDB为媒介；因为∠FEB和∠FDB为⊙O₂中同弧所对圆周角相等，同时∠FDB又是⊙O₁内接四边形的一个外角所以∠FDB=∠C，因此最终可证明结论成立．
（2）证AB•EB=DE•AG，即证，而BE=BF可证，所以整个式子就又转化为；而作为来讲，由△ADE∽△ABF可得，由EF∥CG可得；由此可得出我们所要的结论．
点评：此题主要考查的是在圆中相似三角形的判定和性质的应用，难易程度适中．