Question

5．如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，E、F分别为AC、AB的中点，过E、F两点作⊙O，延长AC交⊙O于D．若∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，则⊙O的半径为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 连接OF交BC于G，连接OE，证明BG=BF═$\frac{5}{2}$，CG=$\frac{3}{2}$，根据EF∥BC，得到$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，求出CD的长，根据勾股定理求出直径DF，得到半径．

解答 解：连接OF交BC于G，连接OE，
∵E、F分别为AC、AB的中点，∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=2，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE，
∵EF∥BC，
∴∠DEF=∠DCB=90°，
∴DF为直径，
∴∠BGF=∠OFE，
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠EOF，∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EOF=∠B，
∴∠OEF=∠BFG，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BG=BF=$\frac{5}{2}$，CG=$\frac{3}{2}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴CD=3CE=$\frac{9}{2}$，
在Rt△DFE中，EF=2，DE=6，
DF=2$\sqrt{10}$，OD=$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、圆周角与圆心角的关系定理，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键，注意平行线分线段成比例定理的应用．