Question

10．设x₁、x₂是一元二次方程2x²-5x-1=0的两根，求下列代数式的值．
（1）x₁²x₂+x₂²x₁（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用代数式变形得到（1）x₁²x₂+x₂²x₁=x₁x₂（x₁+x₂）；（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂； （3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程2x²-5x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）x₁²x₂+x₂²x₁=x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$；
（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=（$\frac{5}{2}$）²-5×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{35}{4}$；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{29}{2}$；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．