Question

【题目】问题背景：

(1)如图：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC．CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE连结AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明____≌____，可得出结论，他的结论应是____．请你按照小王同学的思路写出完整的证明过程.

实际应用

(2)如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处．且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是 海里（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）△AEF≌△AGF，EF＝BE+DF；（2）168

【解析】

（1）先证△ABE≌△ADG后可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再根据∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，可得∠EAF＝∠GAF，从而证得△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的关系；

（2）连接EF，延长AE、BF相交于点C，根据已知可证，再证∠OAC+∠OBC=180°，即可说明问题背景中的结论在此仍然成立，即可得出答案.

（1）△AEF≌△AGF，EF＝BE+DF

证明：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，.

∵∠BAD＝120°且∠EAF＝60°

∴∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）168海里；理由如下：

连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°

∴

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°

与【问题背景】中的条件一致，所以符合【问题背景】中的结论

∴EF=AE+BF成立

∴EF=1.2（60+80）=168海里；

故答案为168.