Question

11．已知?ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S_△ABF≤S_△AEF；④∠BFE=3∠CEF．中一定成立的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．

解答 解：①∵F是BC的中点，
∴BF=FC，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAB，
∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△MBF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBF=∠C}\\{BF=CF}\\{∠BFM=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE=MF，∠CEF=∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠BAE=90°，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△AFM，
∴S_△ABF≤S_△AEF，故③正确；
④设∠FEA=x，则∠FAE=x，
∴∠BAF=∠AFB=90°-x，
∴∠EFA=180°-2x，
∴∠EFB=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠CEF=90°-x，
∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，
故选：D．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．