Question

25、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

AH=AB

；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

Answer 1

分析：（1）由三角形全等可以证明AH=AB，
（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

解答：解：（1）如图①AH=AB．（1分）

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°．
∴Rt△AEB≌Rt△AND．（3分）
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．
∴∠EAM=∠NAM=45°．
∵AM=AM，
∴△AEM≌△ANM．（4分）
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH．（5分）

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．
设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²
∴5²=（x-2）²+（x-3）²（6分）
解得x₁=6，x₂=-1．（不符合题意，舍去）
∴AH=6．（7分）

点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，不是很难．