Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，且线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²-9x+18=0的两根，将
△AOB沿直线AB翻折，点O落在坐标平面内的点C处，延长BC交x轴于点D，
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线BD的解析式；
（3）点M在直线AC上，在X轴上是否存在点N，使以M、B、N、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由因式分解法求出方程的解，即可得出OA、OB的长；
（2）先证明△ACD∽△BOD，得出比例式，求出BD=2AD，设AD=x，则BD=2x，CD=2x-6，由勾股定理得出方程，解方程求出AD，得出OD，即可得出点D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）分三种情况：①当BD为对角线时，由题意得直线BM的解析式为：y=6，再用待定系数法求出直线AC的解析式，求出M的坐标，即可得出N₁ 的坐标；
②当BD与BM为邻边时，容易得出ON₂=15.5，即可得出N₂ 的坐标；
③当BD与BN为邻边时，由平行线得出△ACD∽△AM₁ N₃，得出比例式$\frac{AD}{A{N}_{3}}=\frac{CD}{{M}_{1}{N}_{3}}$，求出AN₃=12.5，得出ON₃，即可得出N₃ 的坐标．

解答 解：（1）∵x²-9x+18=0，
∴（x-3）（x-6）=0，
∴x₁=3，x₂=6，
∴OB＞OA，
∴OB=6，OA=3；
（2）根据题意得：AC=OA=3，
∵AC⊥BD，
∴∠ACD=90°，
又∵∠BOA=90°，∠ODB=∠ADC，
∴△ACD∽△BOD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{OB}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2AD，
设AD=x，则BD=2x，CD=2x-6，
根据勾股定理得：AC²+CD²=AD²，
即3²+（2x-6）²=x²，
解得：x=5，或x=3（不合题意，舍去），
∴AD=5，
∴OD=8，BD=10，CD=4，
∴D（8，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=6，
∴直线BD的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（3）存在；点N的坐标为：（0.5，0），或（15.5，0），或（-9.5，0）；理由如下：
分三种情况：①当BD为对角线时，如图1所示：
则直线BM的解析式为：y=6，
∵AC⊥BD，
∴设直线AC的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+b，
把点A（3，0）代入得：b=-4，
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-4，
当y=6时，$\frac{4}{3}$x-4=6，
解得：x=7.5，
∴M（7.5，6），
∴BM=7.5，
∴ON₁=8-7.5=0.5，
∴N₁（0.5，0）；
②当BD与BM为邻边时，如图2所示：
则ON₂=8+7.5=15.5，
∴N₂（15.5，0）；
③当BD与BN为邻边时，如图3所示：
∵BD∥MN，M₁ N₃=BD=10，
∴△ACD∽△AM₁ N₃，
∴$\frac{AD}{A{N}_{3}}=\frac{CD}{{M}_{1}{N}_{3}}$，
即$\frac{5}{A{N}_{3}}=\frac{4}{10}$，
∴AN₃=12.5，
∴ON₃=12.5-3=9.5，
∴N₃（-9.5，0）；
综上所述：存在点N，使以M、B、N、D为顶点的四边形是平行四边形，
点N的坐标为：（0.5，0），或（15.5，0），或（-9.5，0）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一元二次方程的解法、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和证明三角形相似才能得出结果．