【题目】如图,在矩形中,是边的中点,沿对折矩形,使点落在处,折痕为,连接并延长交于点.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)若矩形的边=,=,求的面积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由折叠的性质得到=,与垂直,根据为中点,得到==,利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形,得到为,进而得到与平行,再由与平行,利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证;
(2)过作,在直角三角形中,利用勾股定理求出的长,利用面积法求出的长,根据=求出的长,在直角三角形中,利用勾股定理求出的长,根据求出的长,由与平行,得到三角形与三角形相似,由相似得比例求出的长,再由==,求出三角形面积即可.
解:(1)由折叠得到=,,
∵为的中点,
∴==,
∴,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴四边形为平行四边形;
(2)过作,交于点,
在中,=,=,
根据勾股定理得:,
∵,
∴,
由折叠得:=,
在中,=,,
根据勾股定理得:,
∵四边形为平行四边形,
∴==,==,
∴=,
∵,
∴,即,
解得:,
则.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,已知△DEF的面积为S,则四边形ABCE的面积为( )
A. 8S B. 9S C. 10S D. 11S
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【题目】如图已知点A (﹣2,4)和点B (1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】如图,一般捕鱼船在A处发出求救信号,位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达.救援艇决定马上调整方向,先向北偏东方以每小时30海里的速度航行,同时捕鱼船向正北低速航行.30分钟后,捕鱼船到达距离A处海里的D处,此时救援艇在C处测得D处在南偏东的方向上.
求C、D两点的距离;
捕鱼船继续低速向北航行,救援艇决定再次调整航向,沿CE方向前去救援,并且捕鱼船和救援艇同达时到E处,若两船航速不变,求的正弦值.参考数据:,,
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【题目】近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降,如图,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,井下3 km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线垂直时,点P的坐标为____
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【题目】环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示,所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的,环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标,整改过程中,所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示,其中线段表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系
(1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式(要求标注自变量的取值范围)
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内(含15天)排污达标?为什么?
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC的中点,F是BC延长线上一点,∠F=∠B.
(l)若AB=1O,求FD的长;
(2)若AC=BC.求证:△CDE∽△DFE .
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【题目】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把1200立方米的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运x立方米,所需时间为y天,写出y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)若每辆拖拉机一天能运12立方米,则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完?
(3)在(2)的条件下,运了8天后,剩下的任务要在不超过6天的时间内完成,那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务?
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