Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为等腰三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC是否可能为直角三角形？若可能求出此时x的值，不可能请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）由MB＞1得3-x＞1，解得x＜2，再根据旋转的性质得AC=AM=1，BC=BN=3-x，根据三角形三边的关系得1+x＞3-x，解得x＞1，由此得到x的取值范围为1＜x＜2；
（2）由于1＜x＜2，则当AB=BC，即x=3-x，△ABC为等腰三角形时，于是得到x=

2

3

；
（3）由于1＜x＜2，AC不能为斜边，利用勾股定理分类讨论：当AC²+BC²=AB²，AB为斜边时，即1²+（3-x）²=x²；当BC为斜边时，AC²+AB²=BC²，即1²+x²=（3-x）²，然后分别解方程求出对应x的值．

解答：解：（1）∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
∵MB＞1，
∴3-x＞1，解得x＜2，
∵以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，
∴AC=AM=1，BC=BN=3-x，
∵1+x＞3-x，解得x＞1，
∴x的取值范围为1＜x＜2；
（2）∵1＜x＜2；
∴△ABC为等腰三角形时，AB=BC，即x=3-x，
∴x=

2

3

；
（3）∵1＜x＜2，
∴AC不能为斜边，
当AC²+BC²=AB²，即AB为斜边时，
∴1²+（3-x）²=x²，解得x=

5

3

；
当BC为斜边时，即AC²+AB²=BC²，
∴1²+x²=（3-x）²，解得x=

4

3

，
∴当x=

5

3

或

4

3

时，△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形三边的关系和勾股定理．