Question

【题目】阅读下列材料，并完成相应的任务．

古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式S＝（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：

∵a＝3，b＝4，c＝5

∴＝6

∴S＝＝＝6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．

根据上述材料，解答下列问题：

如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）按照材料给出的公式，将数值代入即可求出面积；

（2）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，利用角平分线的性质可知IF＝IH＝IG，利用第（1）问中求出的面积求出IF，最后利用三角形面积公式求△ABI的面积即可.

解：（1）∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，

∴

答：△ABC面积是；

（2）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，

∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，

∴IF＝IH＝IG，

∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，

∴（9IF+8IF+7IF）＝

解得IF＝

故S△ABI＝ABFI＝×9×＝．