Question

15．如图，AB=CB，∠ABC=60°，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．
（1）求证：BE=BF；
（2）若CE=12，BF=9，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△ABE≌△CBF，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠FBE，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠FCB\\ AB=CB\\∠ABE=∠CBF\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF；
（2）∵∠ABC=∠FBE，∠ABC=60°，
∴∠FBE=60°，
∵由（1）知BE=BF，
∴△EBF为等边三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BF，
∵∠CEB=30°，
∴∠CEF=90°，
∴在Rt△CEF中，CF²=CE²+EF²=CE²+BF²，
∵CE=12，BF=9，
∴CF=15，
又∵由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，
∴AE=15．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ABE≌△CBF．