Question

【题目】如图，∠C=90°，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若∠BAC=60°,OA=1,求阴影部分的面积(结果保留π).

Answer 1

【答案】(1)BC与O相切，理由见解析；(2) 阴影部分的面积为.

【解析】

（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；

（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．

(1)BC与O相切，

理由：连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AO=DO，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠ACD=90，

∴OD⊥BC，

∴BC与O相切；

(2)连接OE，ED，

∵∠BAC=60，OE=OA，

∴△OAE为等边三角形，

∴∠AOE=60，

∴∠ADE=30，

又∵∠OAD=∠BAC=30，

∴∠ADE=∠OAD，

∴ED∥AO，

是菱形

∴OE⊥AD,且AM=DM,EM=OM

∴S△AED=S△AOD，

∴阴影部分的面积=S扇形ODE=.