Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒,抛物线经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,4),D(4,0).

（1）求c,b(可用含t的代数式表示)；

（2）当t>1时，抛物线与线段交于点M，交x轴于点E.在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

（3）点P为x正半轴上的动点，线段PM与线段BC有公共点时，求点P的横坐标t的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) b=t；(2) 不变，∠EMP=45°；（3）当线段PM与线段BC有公共点时，点P的横坐标t 的取值范围为5≦t≦8.

【解析】

（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）当x=-1时，y=-1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；
（3）设直线PM的解析式为把P(t，0），点M（-1，-1-t）代入求解，再根据线段PM与线段BC有公共点求出范围．

(1)把x=0,y=0代入，得c=0，

再把x=t,y=0代入,得，

∵t>0，

∴b=t；

(2)不变。

∵抛物线的解析式为：，且M的横坐标为1，

∴当x=-1时，y=-1t，

∴M(-1,-1t)，

∴EM=t+1，EP=t+1

∴EM=EP，

∵∠PEM=90°，

∴∠EMP=45°；

（3）设直线PM的解析式为（m≠0）

∵直线PM经过点P(t，0），点M（-1，-1-t）

M=1，n=-t

∴直线PM的解析式为

当PM过点B（1，-4）时，得1-t=-4，解得t=5

当PM过点C,(4,-4)时，得4-t=-4，解得t=8

∴当线段PM与线段BC有公共点时，点P的横坐标t 的取值范围为5≦t≦8.