Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+m-1=0有两个非零实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）两个非零实数根能否同时为正数或负数？若能，请求出相应m的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
（2）设方程的两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

m-1

2

，再看看两根同时为正数或负数是否符合两个等式即可．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程2x²+4x+m-1=0有两个非零实数根，
∴△≥0，
∴△=4²-4×2（m-1）≥0，
m≤3，
即m的取值范围是：m≤3．

（2）能同时为负数，
理由是：设方程的两个根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

m-1

2

，
当两根为正数时，不符合x₁+x₂=-2，即两个根不能同时为正数；
当两根为负数时，符合x₁+x₂=-2，此时x₁•x₂=

m-1

2

＞0，
解得：m＞1，
即两个非零实数根能同时为负数，相应m的取值范围是m＞1．

点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的根的判别式是△=b²-4ac，如果两个根为为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．