Question

如图，直角坐标系中，正方形CDEF的边长为4，且CD∥y轴，直线y=-

1

2

x-1过点C，且交x轴，y轴于点A、B，若点P沿正方形ABCD运动一周，则以P为圆心、

5

为半径的圆动与直线CB相切的次数为（　　）

A．一次

B．两次

C．三次

D．四次

Answer 1

分析：如图，作PH⊥BC于H，GM⊥BC与M，根据条件利用勾股定理就可以求出PD、GC的值，就可以求出⊙P的运动位置，从而确定⊙P与直线CB的相切次数．

解答：解：如图，作PH⊥BC于H，GM⊥BC与M，PN⊥CF，
∴∠PHS=∠GMC=∠PNC=90°．
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠E=∠F=∠FCD=∠D=90°，CD=DE=EF=CF=4．CD∥y轴，
∴∠HPN=∠MGC=∠BAO，
∵直线y=-

1

2

x-1，当y=0时，x=-2，
当x=0时，y=-1，
∴A（-2，0），B（0，-1），
∴OA=2，OB=1，
∴tan∠OAB=

1

2

，
∴tan∠HPN=tan∠MGC=

1

2

．
当PH=

5

时，HS=

5

2

，
在Rt△PHS中，由勾股定理得：
PS=

5

2

，
∴SN=

3

2

，
∴NC=3，
∴PD=3，
∴P点运动到离D点的距离为3时，⊙P与直线相切，
当P点运动到G点，GM=

5

时，则MA=

5

2

，
在Rt△GMC中，由勾股定理，得
GC=

5

2

，
∴DG=

3

2

，
∴P点运动到离D点的距离为

3

2

时，⊙P与直线相切，
∴⊙P与直线CB相切2次．
故选B．

点评：本题考查了一次函数的解析式的运用，三角函数值的运用，勾股定理的运用，相切的判定及性质的运用，解答时灵活运用三角函数值根据勾股定理求解是关键．